Ekscytująca liczba π


13-03-2021 19:44:41

Z prof. dr. hab. inż. Jackiem Miękiszem, prezesem Polskiego Towarzystwa Matematycznego, pracownikiem Zakładu Biomatematyki i Teorii Gier Instytutu Matematyki Stosowanej i Mechaniki, Wydziału Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego, rozmawia Jerzy Bojanowicz.

- Nie neguję znaczenia matematyki w naszym życiu, ale czy jest aż tak ważna, by 14 marca obchodzić Międzynarodowy Dzień Matematyki, proklamowany przez UNESCO w 2019 r.?

- Matematyka dostarcza narzędzi i technik do rozwiązywania problemów życia codziennego. Jest językiem opisu natury, bez którego nie powstałaby nasza cywilizacja. Jest też sposobem myślenia, prezentowania i analizowania dowolnych problemów, także w społecznej i humanistycznej sferze naszego życia. Tak jak filozofia, matematyka zajmuje się nieskończonościami i, co ciekawe, rozważania o nieskończonych bytach matematycznych przydają się do opisu i kształtowania naszego skończonego świata. Tak jak sztuka, matematyka dotyka w zwięzłej formie istoty rzeczy. Tak więc nic dziwnego, że jest to Królowa Nauk, a jej święto przypada w dniu, który dość dobrze przybliża liczbę π.

Przy okazji dodam, że w 100-lecie założenia Polskiego Towarzystwa Matematycznego Senat Rzeczypospolitej ustanowił rok 2019 Rokiem Matematyki. http://www.jrm2019.pl/

- Od czasu do czasu przywoływana jest „lwowska szkoła matematyczna”, której „uczniowie” zrobili międzynarodową karierą. We lwowskiej kawiarni „Szkockiej” zajmowali się m.in. rozwiązywaniem nierozwiązanych problemów matematycznych. Czy naprawdę tak istotne jest rozwiązanie zagadnień matematycznych, w tym Hipotezy Riemanna z 1859 r., które ogłosił w 2000 r. Instytut Matematyczny Claya, wyznaczając za rozwiązanie każdego z tzw. problemów milenijnych 1 mln USD nagrody?

- Jeden z największych matematyków, David Hilbert (1862-1943), stwierdził, że bardzo ważnym celem działalności naukowej byłoby umieszczenie muchy na księżycu. Aby to zrobić, należałoby rozwiązać wiele fundamentalnych problemów naukowych, technologicznych, inżynierskich. Podczas kongresu matematycznego w 1900 r. Hilbert zaprezentował listę ważnych problemów matematycznych, wiele z nich nie zostało do tej pory rozwiązanych. Lista siedmiu problemów milenijnych Instytutu Claya jest współczesnym odpowiednikiem problemów Hilberta.

Dotychczas jeden z problemów – dotyczący Hipotezy Poincarégo -  został rozwiązany przez Grigorija Perelmana. Odmówił on jednak przyjęcia pieniędzy, tak jak i medalu Fieldsa – najbardziej prestiżowej nagrody matematycznej. Główna motywacja naszej pracy to chęć rozwiązania zagadek i problemów, które stawia przed nami Natura.

Wielkie problemy matematyczne ogniskują naszą uwagę, przyciągają do matematyki nowe pokolenia, przekazują informację, że matematyka ciągle jest żywa, ciągle się rozwija. Oglądanie właśnie zakończonego Australian Open sprawi, że być może też zapragniemy zagrać w tenisa.  

- Czy dziś można mówić o „polskiej szkole matematycznej”?

- Po odzyskaniu przez Polskę niepodległości w 1918 r. entuzjazm i chęć badań naukowych, wspólne działania, dyskusje, spotkania naukowe wprowadziły polskich matematyków do elity światowej. Członkowie Lwowskiej Szkoły Matematycznej skupili się na podstawach matematyki – topologii i teorii mnogości, to była ich specjalność.

Obecnie nauka stała się międzynarodowa, z różnych względów więcej współpracujemy z matematykami z zagranicy niż z kolegami z sąsiedniego pokoju. Dotyczy to zresztą nie tylko Polski. Szkoły matematyczne są teraz jak kluby piłkarskie Ligi Mistrzów, gdzie grają zawodnicy z całego świata.

- Na czym skupiają się dziś naukowcy-matematycy?

- Większość, a może nawet wszystkie gałęzie matematyki mają swój początek w analitycznej, ilościowej obserwacji Natury, otaczającej nas rzeczywistości. Rachunek różniczkowy i całkowy powstał w wyniku obserwacji i potrzeby opisu ruchu planet, rachunek prawdopodobieństwa z tablic śmiertelności, gier hazardowych, a później z układów wielu oddziałujących obiektów. Taki jest początek i historia matematyki i taka będzie jej przyszłość, aby odpowiadać na podstawowe pytania stawiane przez inne nauki i rozwiązywać praktyczne problemy. Przed nami loty na Marsa, choć niekoniecznie razem z muchą.

Chyba największym wyzwaniem przed matematykami jest walka o okiełznanie świata pełnego gigantycznej liczby danych, zrozumienie sztucznej inteligencji, uczenia maszynowego. To wymagać będzie nowej matematyki, tej abstrakcyjnej i tej skierowanej na zastosowania, wspomaganej obliczeniami numerycznymi i symulacjami stochastycznymi. Ale oczywiście matematycy to ludzie wolni i zajmują się tym, co ich ekscytuje.

– A czego dotyczą badania prowadzone na Wydziale Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego?

- Badania prowadzone na Wydziale MIMUW obejmują zasadniczo wszystkie działy matematyki i informatyki, podział na te dwie odrębne dyscypliny naukowe staje się zresztą coraz mniej ostry.

https://www.mimuw.edu.pl/dziedziny-badan

Między innymi zgłębiane są tajniki: geometrii algebraicznej, rachunku  prawdopodobieństwa i statystyki, równań różniczkowych cząstkowych, układów dynamicznych, algorytmiki, sztucznej inteligencji, uczenia maszynowego, kryptografii, matematyki finansowej, metod numerycznych, biologii obliczeniowej i bioinformatyki, biomatematyki, teorii gier i teorii grafów. Działy te przenikają się nawzajem, od  matematyki  abstrakcyjnej, przez matematykę stosowaną, do rzeczywistych zastosowań matematyki.

Przykładowo, aby zaprojektować optymalną procedurę dawkowania leku przeciwrakowego, konstruowany jest układ równań różniczkowych zwyczajnych z opóźnieniami czasowymi  (to specjalność Zakładu Biomatematyki i Teorii Gier, którego jestem członkiem) opisujący zmiany w czasie koncentracji komórek rakowych, zdrowych oraz leku, a jeżeli weźmiemy pod uwagę efekty przestrzenne i losowe, to do akcji wchodzą równania różniczkowe cząstkowe oraz procesy stochastyczne. Aby odpowiednio skalibrować współczynniki równań, potrzebne są metody statystyki i narzędzia numeryczne. W celu poklasyfikowania danych medycznych pacjentów i ich odpowiedzi na leki posługujemy się klasyfikatorami bioinformatycznymi, uczeniem maszynowym i zaawansowanymi metodami biostatystyki.

W niektórych modelach biostatystycznych dużą rolę odgrywają konstrukcje i koncepcje geometrii algebraicznej. Poszufladkowane działy matematyki otwierają się (choć czasami niestety niezbyt szybko) w ramach badań interdyscyplinarnych. To się dzieje u nas na Wydziale MIMUW.

- Wcześniej prowadzący muszą skończyć studia. Jak Pan ocenia poziom wiedzy matematycznej kandydatów na studia na waszym Wydziale?

- Wiedza jest drugorzędna, ważna jest ciekawość, twórcza postawa. Uważam, że poziom przygotowania studentów matematyki tak bardzo się nie zmienił. Trzeba podkreślić, że obecnie studiuje więcej młodzieży niż przed 1989 r., więc siłą rzeczy poziom jest bardziej zróżnicowany. Wydaje mi się, że to raczej my – wykładowcy jesteśmy mniej przygotowani do nauczania w szybko zmieniającej się rzeczywistości, nie nadążamy za rewolucją cyfrowo-informacyjną.

- A jakie jest zainteresowanie kolejnymi edycjami Konkursu Uczniowskich Prac z Matematyki im. P. Domańskiego skierowanego do uczniów szkół ponadpodstawowych oraz podstawowych w klasach 7-8, którego 43. edycja rozpocznie się w kwietniu?

- To jest niezwykły konkurs. Uczestnicy nie rozwiązują problemów, których rozwiązania są znane - oni proponują nowe twierdzenia, oryginalne dowody, konstruują modele matematyczne. Jak można przeczytać na plakacie konkursu: „Mówiąc krótko: należy udowodnić coś, czego jeszcze nikt inny nie udowodnił!” https://www.mimuw.edu.pl/43-konkurs-uczniowskich-prac-z-matematyki-im-p-domanskiego

Prace można przesyłać do końca kwietnia. Z reguły jest zgłaszanych ok. 20 prac. Ogłoszenie wyników poprzedniej edycji konkursu, omówienie prac konkursowych i „wręczenie” dyplomów można zobaczyć na YouTubie https://youtu.be/scJ9dJ1Fi_w

- W 1988 r. w muzeum nauki Exploratorium w San Francisco, z inicjatywy Larry’ego Shawa, odbyły się pierwsze obchody Dnia Liczby π. Czym matematyków ujął wynoszący mniej więcej 22/7 stosunek długości okręgu do jego średnicy, nazywany stałą Archimedesa bądź ludolfiną?

- Matematyk pracuje z π tak jak stolarz z deską. Tak więc pytanie powinno raczej brzmieć: dlaczego π ekscytuje zwykłych śmiertelników.

Liczba π jest niewymierna – nie można przedstawić jej przy pomocy ilorazu dwóch liczb całkowitych, jest przestępna – nie jest pierwiastkiem żadnego wielomianu o współczynnikach całkowitych. Oczywiście takich liczb jest wiele (nieprzeliczalnie wiele), np. liczba Eulera – e  podstawa logarytmu naturalnego. Dlaczego więc to właśnie π a nie e  porusza naszą wyobraźnię? Przede wszystkim prosta geometryczna definicja π, a co za tym idzie obecność w mediach - od starożytnych Babilończyków i Starego Testamentu (w obu przekazach π bliska była 3), do współczesnych opracowań popularno-naukowych. Trzeba przyznać, że π pojawia się wszędzie, w wartościach pewnych całek, sumach szeregów, rozkładzie normalnym, w przedziałach ufności i poziomach istotności, i to nie takich „π razy drzwi”, ale w zasadzie nieoznaczoności Heisenberga w fizyce kwantowej, w równaniu pola grawitacyjnego w ogólnej teorii względności i w wielu innych zaskakujących miejscach.

Ale e  się nie poddaje, weszło nawet w bezpośrednią relację z π, e + 1 = 0. Wynik następnego starcia między π a e  jest znany – Międzynarodowy Dzień Matematyki jest 14 marca, a nie 7 lutego.

- Ludolph van Ceulen w 1596 r. podał wartość liczby π z dokładnością do 20 miejsc po przecinku, a później z dokładnością do 35 miejsc po przecinku. Wikipedia podaje 204 miejsca po przecinku. Jaka jest dziś ta dokładność i czy naprawdę warto absorbować pamięć komputerów, by ją zwiększać?

- Można to traktować jako zawody sportowe. Jednocześnie sprzyja to konstrukcji nowych algorytmów, nowych lepszych sposobów działania. Nie sądzę, żeby nam brakowało pamięci komputerowej na taką działalność. Z praktycznego punktu widzenia, uważa się, że wystarczy 39 miejsc po przecinku, aby dokonywać dokładne obliczenia kosmologiczne (tyle miejsc po przecinku wymaga obliczenie obwodu Widzialnego Wszechświata z dokładnością do jednego atomu).

Jeżeli weźmiemy pod uwagę błędy zaokrągleń, to liczba miejsc po przecinku powinna być zwiększona do kilkuset. Obecnie w rozwinięciu dziesiętnym liczby π znamy ponad 1012 miejsc po przecinku.

Jako zadanie domowe dla wnikliwych Czytelników proponuję obliczenie przybliżenia liczby π bez komputera, przy pomocy rzutów zapałki (bez główki) na poliniowaną kartkę papieru. Oczywiście stosunek długości zapałki do odległości między liniami musi być odpowiedni.

- Czy Wydział planuje jakieś obchody Dnia Liczby π?

- W sposób szczególny nie obchodzimy i nie celebrujemy, ale kilka imprez planujemy.

Miesięcznik Delta, wydawany przez Uniwersytet Warszawski, którego redakcja mieści się na Wydziale Matematyki, Informatyki i Mechaniki, 25 lutego zorganizował maraton wykładowy - 8 referatów po 20 minut z informatyki, matematyki, fizyki i astronomii - do obejrzenia na YouTubie, https://www.mimuw.edu.pl/maraton2021

W przeddzień Międzynarodowego Dnia Liczby π, 13 marca, odbędzie się Dzień Odkrywców Kampusu Ochota, którego MIMUW jest współorganizatorem. Wiele wykładów będzie koncentrować się wokół π, np. panel interdyscyplinarny będzie związany z tym, jak liczba π jest związana z matematyką, fizyką, geologią, chemią i biologią.

Oddział Warszawski PTM organizuje 24 marca minikonferencję „Trójgłos o Hipotezie Riemanna” – wystąpią: matematyk, fizyk i filozof, ale tak naprawdę w głębi serca i umysłu matematycy. Będzie można posłuchać, co wspólnego mają zera pewnej funkcji z liczbami pierwszymi, z macierzami losowymi i z bezpieczeństwem w przesyłaniu danych. O elementarnym wprowadzeniu do Hipotezy Riemanna można posłuchać na jednym z wykładów maratonu Delty.

No i przypominam, milion dolarów za rozwiązanie problemu milenijnego nadal czeka.

- Dziękuję za rozmowę.

Komentuje Waldemar Rukść

eNOT.pl - Portal Naczelnej Organizacji Technicznej | eNOT.pl